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Actividad integradora 2: Movimiento
de un tren
1. Lee y analiza el siguiente planteamiento:
Un tren parte de una estación
de tren de una estación A hacia otra estación B que se encuentra a 44 km por
unas vías rectas mientras mantiene una rapidez constante de 30 km/h (0.5
km/min). En ese mismo momento, un segundo tren parte de la estación B hacia la
estación A con una rapidez constante de 36 km/h (0.6 km/min), en unas vías
paralelas a las primeras. Por ello, la ecuación que modela el movimiento de
cada uno de los trenes es:
Xf=x0+vt
Donde
2. En tu documento, integra una portada con tus datos
generales y con los siguientes elementos:
a) Ecuaciones de movimiento de posición contra
tiempo de cada uno de los trenes. Usa unidades de km/min para la rapidez.
Para el primer tren, la
ecuación de movimiento de posición contra tiempo es:
x1(t) = 0 + 0.5t
Donde:
- x1(t) es la posición del
primer tren en km en un momento dado t.
- La posición inicial del
primer tren, x1(0), es cero ya que se considera la posición de la estación A
como el origen.
- La velocidad del primer
tren, v1, es de 0.5 km/min
ya que se mueve con una rapidez constante de 30 km/h.
Para el segundo tren, la
ecuación de movimiento de posición contra tiempo es:
x2(t) = 44 - 0.6t
Donde:
- x2(t) es la posición del
segundo tren en km en un momento dado t.
- La posición inicial del
segundo tren, x2(0), es de 44 km ya que se encuentra en la estación B.
- La velocidad del segundo
tren, v2, es de -0.6 km/min, ya que se mueve en dirección
opuesta al primer tren con una rapidez constante de 36 km/h.
Es importante tener en cuenta
que en la ecuación del segundo tren, la velocidad se expresa como un valor
negativo ya que se está moviendo en dirección opuesta al primer tren.
Estas ecuaciones nos permiten
calcular la posición de cada tren en cualquier momento dado en función del
tiempo transcurrido desde el inicio del movimiento. La posición se mide en km y el tiempo se mide en
minutos.
Entonces, para el primer tren,
la ecuación de movimiento de posición contra tiempo es:
x1(t) = 0 + 0.5t
Para el segundo tren, la
ecuación de movimiento de posición contra tiempo es:
x2(t) = 44 - 0.6t
Donde t es el tiempo transcurrido desde el inicio del movimiento en
minutos y x1(t) y x2(t) son las posiciones del primer y segundo trenes,
respectivamente, en km.
b) Gráficas de las ecuaciones de los movimientos
de cada uno de los trenes usando la graficadora en línea “Desmos” a la cual
podrás acceder haciendo clic en el siguiente enlace: https://www.desmos.com/calculator. Haz
clic en la intersección de
estas dos rectas para que se observen las coordenadas de dicho punto, toma
captura de pantalla e inclúyelo a tu documento.
Entonces, para el primer tren,
la ecuación de movimiento de posición contra tiempo es:
x1(t) = 0 + 0.5t
Para determinar el tiempo que
tarda el primer tren en llegar a la estación B, podemos utilizar la ecuación de
movimiento Xf = x0 + vt, donde Xf es la posición final, x0 es la posición
inicial, v es la velocidad y t es el tiempo.
En este caso, el primer tren
parte de la estación A, que es la posición inicial (x0 = 0 km), y se mueve a
una velocidad constante de 30
km/h (0.5 km/min) hacia la estación B, que es la posición final (Xf = 44 km).
Por lo tanto, podemos escribir
la ecuación de movimiento del primer tren como:
Xf = x0 + vt
44 km = 0 km + (0.5 km/min) t
Para
encontrar el tiempo que tarda el primer tren en llegar a la estación B, podemos
despejar t:
Para
despejar t en la ecuación 44
km = 0 km + (0.5 km/min) t, podemos seguir los siguientes pasos:
1.
Resta 0 km de ambos lados de la ecuación:
44 km - 0 km = (0.5 km/min) t
2.
Divide ambos lados de la ecuación por 0.5 km/min:
(44 km - 0 km) / (0.5
km/min) = t
3. Simplifico:
t =
88 minutos
La
posición final del primer tren después
de 0.5
km/min se puede calcular utilizando la ecuación de
movimiento Xf = 0km + 0.5 km/min t, donde t es el tiempo en minutos. Al
sustituir t = 88, obtenemos:
Xf
= 0km + 0.5 km/min (88min)
Xf = 44 km
Por lo tanto, la posición final del primer
tren después de 88 minutos es
de 44 km.
Para el segundo tren, la ecuación de movimiento de posición contra
tiempo es:
x2(t) = 44 - 0.6t
Para encontrar el tiempo que
tarda el segundo tren en llegar a la estación A, podemos utilizar la ecuación
de movimiento del segundo tren y establecer que la posición del segundo tren es
igual a la posición de la estación A (que es 0 km).
Por lo tanto, podemos
escribir:
x2(t)
= 0
44
- 0.6t = 0
44
= 0.6t
t
= 44/0.6
t ≈ 73.33 minutos
Entonces, el segundo tren
tarda aproximadamente 73.33 minutos en llegar a la estación A. Por eso queda en
cero la coordenada al recorrer en negativo.
c) Respuesta a los siguientes planteamientos:
i. ¿Qué representan los ejes (horizontal y
vertical) de la gráfica?
La información que se ha
proporcionado describe el movimiento de dos trenes que viajan en direcciones
opuestas entre dos estaciones. Los ejes de la gráfica representan la posición de los trenes (en
kilómetros) en función del tiempo (en minutos) transcurrido desde que los
trenes partieron de sus respectivas estaciones.
El eje horizontal (eje x)
podría representar el tiempo transcurrido desde que los trenes partieron de sus
estaciones, y el eje vertical (eje y) podría representar la posición de los
trenes en kilómetros en relación a una estación de referencia.
ii. ¿Qué representa cada una de las coordenadas de
un punto que se encuentra sobre una gráfica de una ecuación de movimiento?
En una gráfica de una ecuación
de movimiento, cada punto representa la posición del objeto en un momento
específico del tiempo. Las coordenadas de un punto en la gráfica representan
tanto el tiempo como la posición del objeto en ese momento. La coordenada
horizontal (eje x) representa el tiempo transcurrido desde el inicio del movimiento,
mientras que la coordenada vertical (eje y) representa la posición del objeto
en ese momento. Con las coordenadas de un punto en la gráfica de una ecuación
de movimiento, podemos determinar tanto el tiempo transcurrido desde el inicio
del movimiento como la posición del objeto en ese momento.
iii. ¿A los cuántos minutos desde que partieron y a
cuántos kilómetros de la estación A se cruzan los dos trenes? Parte de las
coordenadas de la intersección de sus gráficas de movimiento para dar respuesta
a esta pregunta.
Para encontrar a qué distancia
de la estación A se cruzan los dos trenes, primero debemos encontrar el tiempo
que les toma encontrarse. Para hacerlo, igualamos las ecuaciones de movimiento
de los dos trenes y resolvemos para el tiempo:
44 - 0.6t = 0.5t
44 = 1.1t
t = 40
Por lo tanto, los dos trenes se cruzan 40 minutos después de que el
segundo tren haya partido de la estación B.
Para encontrar la distancia
desde la estación A en la que ocurre el cruce, sustituimos el tiempo encontrado
en cualquiera de las dos ecuaciones de movimiento de los trenes:
x1(t) = 0 + 0.5t
x1(40) = 0 + 0.5(40)
x1(40) = 20
x2(t) = 44 - 0.6t
x2(40) = 44 - 0.6(40)
x2(40) = 24
Por lo tanto, los dos trenes se cruzan a una distancia de 20 km desde
la estación A.
3. Argumenta, en 3 a 6 renglones qué tipo de movimiento
describe la ecuación que obtuviste y por qué se trata de un movimiento de este
tipo.
La ecuación de movimiento encontrada describe
un movimiento de encuentro, en el cual dos objetos se mueven en direcciones
opuestas y se encuentran en un punto específico. En este caso, los dos trenes
se están acercando el uno al otro en direcciones opuestas y se encontrarán en
un punto específico, lo que hace que la ecuación de movimiento sea una ecuación
de encuentro. Además, el hecho de que la distancia entre los dos trenes esté
disminuyendo a medida que se acercan entre sí sugiere que se trata de un
movimiento con una aceleración negativa, ya que la rapidez del movimiento está
disminuyendo.
Bibliografía
1. Hidalgo,
J. (2008). Física general: Mecánica.PP345. México, D.F.: Pearson
Educación.
2. Serway, R. A. y Jewett, J. W. (2013). Física para ciencias e
ingenierías. PP 234. México, D.F.: Cengage Learning.
3. Alonso, M.
y Finn, E. J. (2013). Física. PP. 245.México, D.F.: Addison-Wesley
Iberoamericana.
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