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1.-Lee y analiza el siguiente
planteamiento:
¿Sabías que la velocidad de la luz es
de 300,000 km/s? Existen laboratorios dedicados a la investigación en Física de
partículas, mismas que se encuentran en todo el universo. Algunos investigadores
intentan calcular qué tanto se puede acelerar una partícula y de esta manera
acercarnos a saber si los objetos pueden viajar a velocidades cercanas a la
velocidad de la luz.
Se estudia, en específico, el caso de
una partícula cuya aceleración está dado por:
F’’(t)=2t-7
La expresión "F''(t) = 2t - 7" es
una ecuación diferencial de segundo orden, donde F(t) es una función
desconocida que depende de la variable t, y la ecuación establece que la
segunda derivada de F con respecto a t es igual a 2t - 7.
Esta ecuación diferencial de segundo orden
se puede resolver para encontrar una función particular F(t) que satisface la
ecuación. La solución general de esta ecuación diferencial incluirá dos
constantes arbitrarias, que se pueden determinar a partir de las condiciones
iniciales si se especifican.
Para resolver esta ecuación diferencial, se
puede utilizar la técnica de integración de la función dos veces, lo que nos
lleva a una expresión para F(t) en términos de t y las constantes arbitrarias.
Los investigadores, están interesados
en determinar:
a)
¿Cuál es la función de velocidad si al instante t= 0 la velocidad de
dicha partícula es de 10?
Para encontrar la función de velocidad v(t) a partir de la ecuación
diferencial dada, primero debemos integrar la ecuación una vez para obtener la
función de posición x(t):
F''(t) = 2t - 7
Integrando una vez con respecto a t, obtenemos:
F'(t) = t^2 - 7t + C1
donde C1 es una constante arbitraria de integración que se determinará a
partir de las condiciones iniciales.
Integrando nuevamente la función F'(t) con respecto a t, obtenemos la
función de posición x(t):
F(t) = (1/3)t^3 - (7/2)t^2 + C1*t + C2
donde C2 es otra constante arbitraria de integración.
Ahora, para encontrar la función de velocidad v(t), simplemente derivamos
la función de posición x(t) con respecto al tiempo:
v(t) = x'(t) = t^2 - 7t + C1
Para encontrar la constante C1, utilizamos la condición inicial de que la
velocidad de la partícula es 10 en el instante t=0:
v(0) = 10 = 0^2 - 7(0) + C1
C1 = 10
Por lo tanto, la función de velocidad v(t) de la partícula es:
v(t) = t^2 - 7t + 10
Es importante recordar que la solución general de la ecuación diferencial
dada incluye otra constante arbitraria C2, que se determinaría a partir de una
segunda condición inicial, como la posición de la partícula en el instante t=0.
Sin embargo, como solo se nos dio la velocidad inicial, no podemos determinar
el valor de C2 con esta información.
b)
¿Cuál es la función de posición, la cual se sabe que en el instante t=
0 toma un valor de 2?
Para encontrar la función de posición x(t)
a partir de la ecuación diferencial dada, primero debemos integrarla dos veces,
como se hizo en la respuesta anterior:
F''(t) = 2t - 7
Integrando dos veces con respecto a t,
obtenemos:
F(t) = (1/3)t^3 - (7/2)t^2 + C1*t + C2
donde C1 y C2 son constantes arbitrarias de
integración que se determinarán a partir de las condiciones iniciales.
Para encontrar la constante C2, utilizamos
la condición inicial que la función de posición tiene un valor de 2 en el
instante t=0:
F(0) = 2 = (1/3)*0^3 - (7/2)*0^2 + C1*0 +
C2
C2 = 2
Para encontrar la constante C1, podemos
utilizar la condición inicial de que la velocidad de la partícula es 10 en el
instante t=0, que se encontró en la respuesta anterior:
v(0) = 10 = 0^2 - 7(0) + C1
C1 = 10
Por lo tanto, la función de posición x(t)
de la partícula es:
x(t) = (01/3)t^3 -
(7/2)t^2 + 10t + 2
x(t) = 0.333t3
– 3.5t2 + 10t + 2
Es importante recordar que la solución
general de la ecuación diferencial dada incluye las constantes arbitrarias C1 y
C2, que se determinan a partir de las condiciones iniciales especificadas. En
este caso, se encontraron los valores de C1 y C2 a partir de las condiciones
iniciales dadas.
c)
¿Cuánto ha recorrido la partícula en el intervalo [6,12]?
Para
encontrar la distancia total recorrida por la partícula en el intervalo [6,12],
debemos calcular la integral definida de la magnitud de la velocidad en ese
intervalo:
Distancia
= ∫(6 to 12) |v(t)| dt
Donde
|v(t)| es la magnitud de la velocidad, que se calcula como:
|v(t)|
= |t^2 - 7t + 10|
Podemos
descomponer la función |v(t)| en tres regiones: cuando t < 1, cuando 1 ≤ t ≤
6, y cuando t > 6. Esto se debe a que la función t^2 - 7t + 10 tiene un
mínimo en t = 3.5, y cambia de signo en ese punto. Entonces, la función |v(t)|
es igual a t^2 - 7t + 10 en las regiones donde t^2 - 7t + 10 es positiva, y es
igual a -(t^2 - 7t + 10) en la región donde t^2 - 7t + 10 es negativa.
En
la región donde t < 1, la función |v(t)| es igual a -(t^2 - 7t + 10), ya que
t^2 - 7t + 10 es negativa en esa región. Por lo tanto, la integral de |v(t)| en
esta región es:
∫(6 to 12) |v(t)| dt = ∫(6 to 12) -(t^2 - 7t + 10) dt
Integrando
esta expresión, obtenemos:
∫(6
to 12) |v(t)| dt = [-1/3 * t^3 + (7/2) * t^2 - 10t]6^12
En
la región donde 1 ≤ t ≤ 6, la función |v(t)| es igual a t^2 - 7t + 10, ya que
t^2 - 7t + 10 es positiva en esa región. Por lo tanto, la integral de |v(t)| en
esta región es:
∫(6 to 12) |v(t)| dt = ∫(6 to 12) (t^2 - 7t + 10) dt
Integrando
esta expresión, obtenemos:
∫(6
to 12) |v(t)| dt = [1/3 * t^3 - (7/2) * t^2 + 10t]6^12
En
la región donde t > 6, la función |v(t)| es igual a t^2 - 7t + 10, ya que
t^2 - 7t + 10 es positiva en esa región. Por lo tanto, la integral de |v(t)| en
esta región es:
∫(6 to 12) |v(t)| dt = ∫(6 to 12) (t^2 - 7t + 10) dt
Integrando
esta expresión, obtenemos:
∫(6
to 12) |v(t)| dt = [1/3 * t^3 - (7/2) * t^2 + 10t]6^12
Entonces,
la distancia total recorrida por la partícula en el intervalo [6,12] es igual a
la suma de las integrales en las tres regiones:
Distancia = [-1/3 * t^3 + (7/2) * t^2 - 10t]6^12 + [1/3 *
t^3 - (7/2) * t^2 + 10t]6^12 + [1/3 * t^3 - (7/2) * t^2 + 10t]6^12
Realizando
las operaciones correspondientes, se obtiene:
Distancia
= 26.33 unidades de longitud (aproximadamente)
Por
lo tanto, la partícula recorrió aproximadamente 26.33 unidades de longitud en
el intervalo [6,12].
d)
Determina los puntos máximos y mínimos en su función de posición, si es
que existen.
Para
encontrar los puntos máximos y mínimos en la función de posición de la
partícula, debemos buscar los valores de t donde la función alcanza su máximo o
su mínimo. Estos valores corresponden a los instantes en los que la partícula
alcanza su posición más alta o más baja.
La
función de posición de la partícula es:
x(t)
= (1/3)*t^3 - (7/2)*t^2 + 10t + 2
Podemos
encontrar los puntos máximos y mínimos de la función de posición al encontrar
los valores de t donde la función de velocidad es igual a cero. Esto se debe a
que la velocidad de la partícula es cero en los puntos máximos y mínimos de su
trayectoria.
La
función de velocidad de la partícula es:
v(t)
= x'(t) = t^2 - 7t + 10
Podemos
encontrar los puntos máximos y mínimos de la función de posición al encontrar
los valores de t donde la función de velocidad es igual a cero. Esto se debe a
que la velocidad de la partícula es cero en los puntos máximos y mínimos de su
trayectoria.
Para
encontrar los puntos máximos y mínimos de la función de posición, debemos
encontrar los valores de t donde la función de velocidad es igual a cero:
t^2
- 7t + 10 = 0
Podemos
resolver esta ecuación mediante factorización:
(t
- 2)(t - 5) = 0
Por
lo tanto, los valores de t donde la función de velocidad es igual a cero son t =
2 y t = 5.
Ahora,
para determinar si estos valores corresponden a un punto máximo o mínimo de la
función de posición, podemos utilizar la segunda derivada de la función de
posición:
x''(t)
= 2t - 7
Evaluando
la segunda derivada en los valores de t donde la velocidad es cero, obtenemos:
x''(2)
= -3
x''(5)
= 3
El
signo de la segunda derivada indica si el punto crítico es un máximo o un
mínimo. Si la segunda derivada es positiva, entonces el punto crítico es un
mínimo. Si la segunda derivada es negativa, entonces el punto crítico es un
máximo.
Por
lo tanto, podemos concluir que t = 2 corresponde a un máximo de la función de
posición, y t = 5 corresponde a un mínimo de la función de posición.
Entonces,
la partícula alcanza su posición más alta en el instante t = 2, y su posición
más baja en el instante t = 5.
e)
¿Cuál es la razón de cambio promedio de la función de posición en los
intervalos de tiempo: [5,6] y [8,9]?
Para encontrar la razón de cambio
promedio de la función de posición en los intervalos de tiempo [5,6] y [8,9],
podemos utilizar la fórmula de la razón de cambio promedio:
Razón de cambio promedio = (Cambio en
la función de posición) / (Cambio en el tiempo)
Para el intervalo de tiempo [5,6], el
cambio en la función de posición es:
Δx = x(6) - x(5)
donde x(t) es la función de posición.
Para encontrar estos valores, simplemente evaluamos la función de posición en
los límites del intervalo:
Δx = x(6) - x(5) = [(1/3)*6^3 -
(7/2)*6^2 + 10*6 + 2] - [(1/3)*5^3 - (7/2)*5^2 + 10*5 + 2]
Δx = (1/3)*6^3 - (7/2)*6^2 + 10*6 + 2 -
(1/3)*5^3 + (7/2)*5^2 - 10*5 - 2
Δx = 15.17
El cambio en el tiempo para el
intervalo [5,6] es:
Δt = 6 - 5 = 1
Por lo tanto, la razón de cambio
promedio de la función de posición en el intervalo [5,6] es:
Razón de cambio promedio = Δx / Δt =
15.17 / 1 = 15.17
Para el intervalo de tiempo [8,9], el
cambio en la función de posición es:
Δx = x(9) - x(8)
donde x(t) es la función de posición.
Para encontrar estos valores, simplemente evaluamos la función de posición en
los límites del intervalo:
Δx = x(9) - x(8) = [(1/3)*9^3 -
(7/2)*9^2 + 10*9 + 2] - [(1/3)*8^3 - (7/2)*8^2 + 10*8 + 2]
Δx = (1/3)*9^3 - (7/2)*9^2 + 10*9 + 2 -
(1/3)*8^3 + (7/2)*8^2 - 10*8 - 2
Δx = 23.33
El cambio en el tiempo para el
intervalo [8,9] es:
Δt = 9 - 8 = 1
Por lo tanto, la razón de cambio
promedio de la función de posición en el intervalo [8,9] es:
Razón de cambio promedio = Δx / Δt = 23.33
/ 1 = 23.33
Entonces, la razón de cambio promedio
de la función de posición en el intervalo [5,6] es 15.17, y la razón de cambio
promedio de la función de posición en el intervalo [8,9] es 23.33.
2.
Cuando hayas finalizado,
analiza y da respuesta a los siguientes planteamientos:
a)
¿Qué nos indica la diferencia en el cálculo de la razón de cambio
promedio en los intervalos de interés?
La diferencia en el cálculo de la
razón de cambio promedio en los intervalos de interés nos indica que la
velocidad de la partícula está variando a lo largo del tiempo, y que la tasa de
cambio de la posición de la partícula es diferente en diferentes momentos del
tiempo.
En particular, la razón de cambio
promedio de la función de posición en el intervalo [8,9] es mayor que la razón
de cambio promedio en el intervalo [5,6]. Esto indica que la velocidad de la
partícula es mayor en el intervalo [8,9] que en el intervalo [5,6]. Es decir,
la partícula se está moviendo más rápido en el intervalo [8,9] que en el
intervalo [5,6].
Esta información puede ser útil para
entender cómo se está moviendo la partícula y para hacer predicciones sobre su
movimiento futuro. Por ejemplo, si la velocidad de la partícula sigue aumentando,
podemos prever que la partícula se moverá aún más rápido en el futuro. Por otro
lado, si la velocidad de la partícula disminuye, podemos prever que la
partícula se moverá más lentamente en el futuro.
b)
Imagina que, en lugar de estar
hablando de la velocidad de una partícula, estuviéramos calculando ingresos
¿Qué utilidad tendría el cálculo de la razón de cambio promedio en el contexto
de un negocio familiar? Argumenta tu respuesta en máximo 10 líneas.
El cálculo de la razón de cambio promedio de los ingresos en un
negocio familiar permite conocer la tasa de crecimiento o disminución de los
ingresos en un intervalo de tiempo determinado. Esto puede ser útil para
identificar períodos en los que el negocio está experimentando un aumento o una
disminución significativa de los ingresos, lo que puede ser causado por
factores internos o externos al negocio. Además, el cálculo de la razón de
cambio promedio puede proporcionar información para la toma de decisiones, como
la planificación de estrategias para aumentar los ingresos o reducir los
costos, y para evaluar el desempeño del negocio en un período de tiempo
determinado.
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